情報処理安全確保支援士試験 情報セキュリティスペシャリスト試験 平成27年度秋期 午前Ⅰ 問1: 集合 A，B，C に対して \overline{A∪\overline{B}∪C} が空集合であるとき，包含関係として適切なものはどれか。ここで，∪は和集合を，

問題本文

集合 A，B，C に対して \overline{A∪\overline{B}∪C} が空集合であるとき，包含関係として適切なものはどれか。ここで，∪は和集合を，∩は積集合を，\overline{X} は X の補集合を，また，X⊆Y は X が Y の部分集合であることを表す。

選択肢

• ア.(A∩B)⊆C
• イ.(A∩\overline{B})⊆C
• ウ.(\overline{A}∩B)⊆C
• エ.(\overline{A}∩\overline{B})⊆C

正解

エ. (\overline{A}∩\overline{B})⊆C

解説

ド・モルガンの法則で補集合の中を展開する。¬(A∪¬B∪C)=¬A∩B∩¬C となり、これが空集合とは「¬A∩¬C である領域は必ず B の外」を意味する。対偶を取ると、Bの補集合かつAの補集合(¬A∩¬B)に属する要素はすべてCに含まれる。よって(¬A∩¬B)⊆C が成り立つ。集合演算とド・モルガンの法則は条件判定や検索クエリ設計の基礎となる。

選択肢ごとの解説

• ア.(A∩B)⊆C は元の条件から導けない関係で、補集合展開の結果と一致せず誤り。
• イ.(A∩¬B)⊆C も成立する保証がなく、空集合条件から導けないため誤り。
• ウ.(¬A∩B)⊆C は条件と無関係で、ド・モルガン展開の結論にならず誤り。
• エ.¬A∩B∩¬C=∅ の対偶から ¬A∩¬B の要素は必ずCに入り、(¬A∩¬B)⊆C が正しい。