応用情報技術者試験 応用情報技術者試験 令和元年度秋期 午前 問2: 全体集合 S 内に異なる部分集合 A と B があるとき，A̅∩B̅ に等しいものはどれか。ここで，A∪B は A と B の和集合，A∩B は A と B の

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全体集合 S 内に異なる部分集合 A と B があるとき，A̅∩B̅ に等しいものはどれか。ここで，A∪B は A と B の和集合，A∩B は A と B の積集合，A̅ は S における A の補集合，A－B は A から B を除いた差集合を表す。

選択肢

• ア.A̅－B
• イ.(A̅∪B̅)－(A∩B)
• ウ.(S－A)∪(S－B)
• エ.S－(A∩B)

正解

ア. A̅－B

解説

集合の差「X－Y」は「X から Y に属する要素を取り除いたもの」であり、X∩Y̅(X かつ Y の補集合)と等しい。求める A̅∩B̅ はド・モルガンの法則より「A でも B でもない要素」、すなわち A∪B の外側 S－(A∪B) を表す。選択肢 ア の A̅－B は A̅∩B̅ そのものなので、これが正解である。

選択肢ごとの解説

• ア.A̅－B は「A の補集合から、さらに B に属する要素を除く」ことを意味し、A̅∩B̅ と完全に一致する。これが A̅∩B̅ に等しく正しい。
• イ.(A̅∪B̅)－(A∩B) は A̅∪B̅ から A∩B を除く形だが、A̅∪B̅ と A∩B はそもそも互いに素(共通部分がない)ため除いても A̅∪B̅ のまま。これは A∩B の補集合であり、A̅∩B̅ より広いので誤り。
• ウ.(S－A)∪(S－B)＝A̅∪B̅ となり、ド・モルガンより (A∩B) の補集合に等しい。求める A̅∩B̅(＝(A∪B) の補集合)とは異なるので誤り。
• エ.S－(A∩B) は A∩B の補集合 A̅∪B̅ であり、A̅∩B̅ ではない。「∩の補は∪」というド・モルガンの取り違えで、誤り。