応用情報技術者試験 応用情報技術者試験 令和6年度春期 午前 問2: ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式は

問題本文

ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間は M／M／1 の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATM を 1 台に統合しても十分に処理できるものとする。 〔条件〕 （1）統合後の平均サービス時間：Ts （2）統合前の ATM の利用率：両支店とも ρ （3）統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

• ア.ρ／(1−ρ)×Ts
• イ.ρ／(1−2ρ)×Ts
• ウ.2ρ／(1−ρ)×Ts
• エ.2ρ／(1−2ρ)×Ts

正解

エ. 2ρ／(1−2ρ)×Ts

解説

M／M／1 待ち行列モデルの平均待ち時間は ｛ρ／(1−ρ)｝×Ts で表され、利用率ρはサービス時間÷到着間隔で決まる。二つの支店を1台のATMに統合すると利用者数が2倍になり、到着間隔が半分になるので利用率は 2ρ に上がる。したがって統合後の平均待ち時間は ｛2ρ／(1−2ρ)｝×Ts となり、エが正解である。利用率を統合前のρのまま使う誤りを避ける点がポイントである。

選択肢ごとの解説

• ア.ρ／(1−ρ)×Ts は統合前の1支店ぶんの待ち時間であり、利用者数が2倍に増えた統合後の利用率2ρを反映していないため誤り。
• イ.分母は 1−2ρ と正しく2倍の利用率を反映しているが、分子のρが2倍になっておらず式として不整合で誤り。
• ウ.分子は2ρで正しいが、分母が 1−ρ のままで利用率の上昇を一部しか反映しておらず誤り。
• エ.正しい。利用者数2倍により利用率が2ρに上がるため、ρを2ρに置き換えた 2ρ／(1−2ρ)×Ts が統合後の平均待ち時間となる。