問題本文
二つの集合AとBについて,常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで,(X∩Y)は,XとYの両方に属する部分(積集合),(X∪Y)は,X又はYの少なくとも一方に属する部分(和集合)を表す。
選択肢
- ア.(A∪B)は,(A∩B)でない集合の部分集合である。
- イ.(A∪B)は,Aの部分集合である。
- ウ.(A∩B)は,(A∪B)の部分集合である。
- エ.(A∩B)は,Aでない集合の部分集合である。
正解
ウ. (A∩B)は,(A∪B)の部分集合である。
解説
正答はウ. 集合論において積集合 (A∩B) は和集合 (A∪B) の部分集合である関係が常に成立する. 積集合は両方に含まれる要素, 和集合は少なくとも片方に含まれる要素で構成されるため, A∩B⊆A∪Bは普遍的真理. ベン図で2つの円の重なり部分 (積集合) が必ず円全体 (和集合) に含まれることから直感的にも理解できる. 集合A・Bが空でないとき, A∪B⊆A∩Bの逆関係は一般に成立しないし, A∪BがA∩Bの補集合の部分集合という関係も不成立で他選択肢は一般化しない関係を述べており誤り.
選択肢ごとの解説
- ア.(A∪B)が(A∩B)でない集合 (補集合) の部分集合という関係は一般に成立しない. 例えばA∩Bが空でない場合, A∪Bには共通部分A∩Bの要素も含まれるため(A∩B)の補集合の部分集合にはならず誤り. 反例が容易に作れる. 試験頻出概念で確実な理解が必要となる選択肢.
- イ.(A∪B)はAの部分集合という関係は一般に成立しない. Bに含まれAに含まれない要素があれば(A∪B)は単独のAより大きくなる. 部分集合関係が逆 (AがA∪Bの部分集合) であり選択肢は誤り. 一般的に逆関係. 試験頻出概念で確実な理解が必要となる選択肢.
- ウ.(A∩B)は(A∪B)の部分集合であるという関係は集合論で常に成立する正答. 両方に属する要素は当然どちらか一方には属するため積集合は和集合に必ず含まれる. ベン図でも直感的に理解できる基本関係である. 試験頻出概念で確実な理解が必要となる選択肢.
- エ.(A∩B)がAでない集合 (Aの補集合) の部分集合という関係は一般に成立しない. A∩BはAの要素でもあるためAの補集合とは交わらないか少なくとも一部Aに含まれており部分集合関係は逆で誤り. 反例で示せる. 試験頻出概念で確実な理解が必要となる選択肢.
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