問題本文
それぞれが独立に点灯/消灯の操作ができる5個のランプが並んでいる。2個以上のランプが点灯しているパターンは何通りあるか。ここで,全てが点灯しているパターンは1通り,いずれか1個が点灯しているパターンは5通りと数えるものとする。
解説
それぞれが点灯/消灯の2状態を独立に取れる5個のランプの全パターンは2^5=32通りである. このうち「2個以上点灯」の総数は,全パターンから0個点灯と1個点灯のパターンを除けば求められる. 0個点灯は全て消灯の1通り,1個点灯はちょうど1個が点灯するパターンで5通り(どのランプが点灯するかで5通り). よって2個以上点灯のパターンは32-1-5=26通りとなる. nCkや余事象の考え方を使う典型的な組合せ問題で,知識ベースの「組合せ③ / 余事象」のパターンと同じである. 全事象から不要事象を差し引くアプローチで素早く解ける.
選択肢ごとの解説
- ア.誤り. 4通りは,例えば点灯個数が特定の数(2個以上の組合せのみを5C2のような限定的計算など)に絞った場合の値であり,2個以上点灯のあらゆるパターン総数を正しく数え上げると26通りとなる. 計算結果と整合しないため,本選択肢は本問の答えとしては適切ではない.
- イ.誤り. 10通りは,2個ちょうど点灯のパターン数(5C2=10)に等しい値である. しかし問題では2個以上点灯のパターン全てを求めるため,3個・4個・5個点灯も加える必要がある. 2個だけで止まる本選択肢は本問の答えとしては不十分で適切ではない.
- ウ.正しい. 5個のランプは独立に2状態取れるので全パターンは2^5=32通り,この中から0個点灯(全消灯の1通り)と1個点灯(5通り)を引いた残りが2個以上点灯のパターン数となり,32-1-5=26通りである. 余事象を使った求め方で計算結果が一致するため,本選択肢が正解として最も適切となる.
- エ.誤り. 32通りは5個のランプ全パターンの総数であり,2個以上点灯のパターンだけを抽出した数ではない. 32には0個点灯と1個点灯も含まれているため,2個以上点灯のパターン数とするには1通り+5通り=6通り分多い. 本問の答えとしては適切ではない.
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