問題本文
プロジェクトの参加メンバが,それぞれ1対1で情報の伝達を行う必要がある。このとき,プロジェクトの参加メンバ数と情報の伝達を行うために必要な経路の数との関係に関する記述として,適切なものはどれか。
選択肢
- ア.参加メンバが1人増えた場合の経路の数の増分は,元の参加メンバが多いほど大きくなる。
- イ.参加メンバが1人増えると経路の数は必ず一つ増加する。
- ウ.参加メンバ数xと経路の数yの関係はy=x!で表される。
- エ.参加メンバ数xと経路の数yの関係はy=x²で表される。
正解
ア. 参加メンバが1人増えた場合の経路の数の増分は,元の参加メンバが多いほど大きくなる。
解説
プロジェクトメンバ全員が1対1で互いに情報伝達する場合,n人のメンバ間に必要な経路数(組合せ数)はnC2=n×(n−1)/2で表される.例えば4人なら6本,5人なら10本,6人なら15本,7人なら21本と,メンバが1人増えるごとの増分は1人少ない数(n)になる.元人数が多いほど増分が大きくなる(増分=新たに参加したメンバが他の全員と結ぶ経路数=元の人数)ので,アが正解.イは経路数の増分が一定ではないため誤り,ウのy=x!は階乗で経路数の式とは異なる,エのy=x²は2人で4となり実際の組合せ数とずれるため誤り.通信本数の組合せ問題の典型例である.
選択肢ごとの解説
- ア.正解.経路数(組合せ数)はnC2=n×(n−1)/2で表される.参加メンバが1人増えた場合の経路増分は元の人数nに等しい(新メンバが他の全員と新たに経路を結ぶため).つまり元メンバが多いほど増分も大きくなる.例えば3→4人で増分3,5→6人で増分5と元の人数に応じて増えるため設問の記述と一致する.
- イ.参加メンバが1人増えると経路数は必ず1つ増加するという主張は誤り.実際の増分は元の人数nに等しく,例えば2人→3人で増分2,3人→4人で増分3と人数の増加に伴って増分も増える.経路数が常に1つだけ増えるという単純な関係ではないため本選択肢は誤り.
- ウ.y=x!(xの階乗)は1×2×3×…×xで急増する関数で,組合せ数nC2=n×(n−1)/2とは数式構造も値もまったく異なる.例えば4人なら4!=24だが実際の経路数は6本で大きく食い違う.階乗は順列計算に近い概念で,メンバ間の1対1経路総数を表す式ではないため,本選択肢の式は実際の関係を正しく示しておらず誤り.
- エ.y=x²(xの2乗)では2人で4本となるが実際は1本だけ(AとBの1経路).3人なら9本ではなく実際は3本でこれも食い違う.x²の式は組合せ数nC2=n(n−1)/2と数式構造も結果も完全に異なるため,メンバ数と経路数の関係を正しく表していない.メンバ数と経路数の関係式として誤り.
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